部分研究生不大会自己找题目做研究，而是“等米下锅”。美国南密西西频年夜学数学系教授丁玖回顾了自己求学和论文选题、写作的特殊经历。
撰文 | 丁玖（美国南密西西频年夜学数学系教授）
新冠疫情爆发前，我返国粹术访问、与教授们互换时，他们提到，部分研究生不大会自己找题目做研究，而是像教室考试等发试卷那样，等导师指定一个研究论题。“嗟来之食”总没有自助餐吃得惬意。我们都知道，田舍自由放养的草鸡味美汁鲜，远非集体圈养的肉鸡可比。盖因肉鸡饭来张口，食谱单调；而草鸡到处觅食，营养丰富。草鸡的市场价钱，也因此比肉鸡贵许多。我小时候住在父母的学校教工宿舍，下雨前最爱在操场上，用大扫帚拍捉矮飞的蜻蜓来喂鸡，由于它们给我们下蛋吃呢。就像念书时，视野不应囿于教科书的方寸纸页，选择学位论文研究课题时，也最好能处处把稳，主动出击。就我而言，博士论文的选题虽然出于有时得之，事先可能连导师李天岩（1945-2020）教授也没想到，却是“到处把稳皆学问”的结果。实在，我赴美后写的第一篇研究文章，是得益于我南大老同学魏木生博士的先驱性事情，而与导师涉足的几个领域无关。虽然它未被放入我的博士论文，其出身机缘却与后来的学位论文有异曲同工之处。
为准确起见，本文将引进一些数学观点。我将用初等或几何措辞，以及比喻类比，来描述观点，即便读者不全懂数学内涵也无妨。性急的读者不必望而生畏而减少连续读下去的劲头，希望所讲故事的戏剧性和启示性燃起他们更大的阅读火苗。
“找米下锅”
我读博阶段的第一项研究，是关于亏秩矩阵最小二乘解的摄动理论。最小二乘法祖师爷之一高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）早在十八岁时就已萌生出该法的思想。作为哥廷根大学天文台台长的他，在研究天文不雅观测数据时发明了最小二乘法。这在几何上与平面上给定试验数据点的曲线拟合有关。比如说，设想在直角坐标平面上有十个点，可以算作是某个试验结果的十组数据。它们一样平常不会适值沿着一条直线排列。但是，我们能不能画出一条直线，使得它和这些点的“垂直间隔”的平方之和最小？这便是“最小二乘问题”的大略一例。它的答案是肯定的，其解法便是“最小二乘法”。最小二乘问题由一个矩阵确定，它是排成几行几列的一组数字。对付“满秩”矩阵（即矩阵的“秩”即是行和列数之较小值），最小二乘的理论与算法已很成熟，构成了打算数学子学科数值线性代数的一部分。
我的大学同学魏木生，在七七级江苏高考中数学全省第一——正题及附加题皆为满分，本科毕业后公费去了美国布朗大学留学，1986年获博士学位。他的博士论文是关于散射波打算，这须要考虑最小二乘问题。但此时矩阵不再是满秩的，而是“亏秩”的，即矩阵之秩小于矩阵的行和列数。他在文献中找不到现成的亏秩问题摄动理论可供参考。有次在学术会议上，魏木生碰着数值代数大人物、美国科学院与工程院双院士、斯坦福大学打算机科学系的高露博（Gene Howard Golub，1932-2007）教授，便向他求教。对方的回答让他相称惊异：还没有人负责研究过此类问题。于是魏木生决定，自己动手打下这个新领域的第一根桩。1989年，他关于亏秩矩阵最小二乘摄动理论的首篇论文刊登于期刊《线性代数及其运用》（Linear Algebra and Its Applications）。
1986-87学年，魏木生在明尼苏达大学数学及其运用研究所做博士后。1987年秋，魏木生来我读博的密歇根州立大学数学系，连续他的博士后研究。李天岩教授在六七个申请者中挑选了他，由于柯朗数学科学研究所的大数学家拉克斯（Peter Lax, 1926-）教授写了一封有力的推举信。能让拉克斯提笔写信的人，当然绝非等闲之辈。的确，魏木生之以是得此殊荣，是由于他在博士论文中，推翻了拉克斯散射波理论专著的一个不雅观点。整整一学年，我们两个老同学常常偕家人驱车去购物，共同度过了许多愉快的光阴。就在那个秋学季，我拜读了魏木生写的几篇文章，以为非常故意思。
魏木生博士的首创性事情，实质上是通过估计亏秩最小二乘问题摄动解的偏差上界，论证了一样平常最小二乘解的“上半连续性”。自然界许多征象都是连续的，比如水是连续流动的。“解的连续性”大概是说，当所解问题的数据稍有变革时，解的变革也不大。为了能够运用矩阵论中著名的“奇异值分解定理”，他不得不该用以一百年前德国数学家弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917）名字命名的一种矩阵范数。这个范数是把m行、n列矩阵的所有元素排成有mn个分量的向量，再打算出该向量的欧几里得范数（即所有分量平方求和，再开平方根）。读毕全文，一股强烈感想熏染很快涌上我的心头：文章结论自然俊秀，数学剖析也很精辟，但利用这个范数，总不及最小二乘问题本身定义所采取的向量欧几里得范数来得自然。于是我主动出击，集中精力苦苦思虑，不久就有了头绪，只用欧几里得范数，得到了一个较为简洁的摄动界。
由于这是我来美后写成的第一篇文章，脱稿时我颇有点小激动。我的硕士论文从未投稿以求揭橥，一方面由于当时太太有身，我当然要尽点任务，加上后来又忙于出国留学，无暇整理；另一方面我早已对那个事情不再看重，盖因来美后创造，国际上基于三角剖分的纯挚不动点算法研究已趋沉寂，不像七十年代到八十年代初那么红火。而基于微分拓扑思想的当代同伦算法，生命力却一贯兴旺。我几个师兄弟的博士论文，都与这个方法密切干系。我后来也将同伦延拓法的思想用于最优化的研究。
愉快之余，我将文章初稿寄给了当时远在日本京都大学数理解析研究所担当讲座教授的导师李天岩，请他提建议。李天岩教授很快回函，在三页长信中对我文章的紧张定理发表了详细见地，并在有关读书研究的方法论上，给予了启迪心智的评述。平时不大当面表扬学生的他，这次却满腔激情亲切地鼓励了我，由于在做学问这件事上，我没有“等米下锅”，而是“找米下锅”。按照他的不雅观点，这是一个研究生“应尽的责任”。
师者传道
对付博士生若何做研究，李天岩教授自己的求学经历便是最好示范。他三十岁前的三大学术贡献为：八页短文《周期三意味着混沌》首次在数学上给出“混沌”观点的精确定义；率先打算性布局布劳威尔不动点，是当代同伦延拓法的开山之作；历史首次证明了打算遍历理论中的乌拉姆猜想。个中最有名的第一项事情，是他与博士论文导师约克（James Yorke，1941-）互助研究的结晶，迄今被引用超过五千九百次。这在引用次数普遍大大低于实验科学和工程领域的数学论文群体中，是名列前茅的。第二篇论文的作者，除约克外又加了凯洛格（Bruce Kellogg，1930-2012）。他单独完成的第三项成果，则供应了我博士论文的灵感源泉。
我们先回顾一下，他是怎么“交运”地写出了天下第一篇用当代同伦延拓法打算布劳威尔不动点的文章。这个以荷兰数学家命名的拓扑学大定理，在最大略的一维环境，便是初等微积分中的介值定理，其几何性子大家都懂：连接一条直线两侧之点的任意连续曲线必与直线相交。布劳威尔不动点定理在二维的环境便是：闭圆盘上任意一个连续自映射（即值域包含于定义域）必有不动点，即该点被映到自己。李天岩1968年毕业于台湾新竹清华大学，当兵一年后，去了美国马里兰大学数学系读博，师从约克教授。毕业前一年的1973年，他修了凯洛格教授的课《非线性方程组数值解》。课中，教授讲述了加州大学伯克利分校数学系赫希（Morris Hirsch，1933-）教授十年前揭橥的布劳威尔不动点定理新证明。
这个简洁反证法的思路是：假设不动点不存在，则导致与拓扑学某定理相抵牾。这后一定理是说，不存在将闭圆盘映到其圆周边界的光滑映射，使得圆周上的所有点保持不动。这些拓扑学上有趣的深刻定理，可以阐明为什么人头顶上有处不长头发的旋窝。李天岩听到如此新颖的证明，喜好思考的他顿生一计：可用该思路打算定理担保存在的不动点。由于闭圆盘是个二维区域，而圆周仅是一维曲线，对付赫希考虑的将圆盘映到圆周的映射，定义域比值域多了一维，故存在“逆像”曲线，它起始于圆周上一点而终止于原来映射的不动点凑集。只要能在数值上跟随这条“同伦曲线”，不动点就可以算出来。主动而独立的思维，牵引出这么奇妙的新算法！
创造性的思想，是那些靠去世记硬背定义、定理、证明的读书者弗成思议的奇迹。但是对喜好追根求源、探求原始思想的探索者，这却是最自然的迎刃而解。
当李天岩见告了约克他的想法后，后者全力支持他干下去，只管他手中还有其他研究项目，眼力深远的导师知道该课题的代价。经由两个月编程打算，李天岩的算法思想终于实现——薄薄的一页打印纸，记录了历史上第一个当代同伦算法的数值结果。将在克莱姆森大学召开的不动点算法及其运用会议的筹委会，一听说他们用微分拓扑思想布局了新的同伦不动点算法，而不是沿着耶鲁大学经济学教授斯卡夫（Herbert Scarf，1930-2015） 1967年开辟的基于纯挚剖分和组合技巧的纯挚不动点算法的路线走，立时供应了两张机票，约请他们赴会宣读论文。后来，斯卡夫在会议论文集媒介中，对凯洛格-李-约克文章的新思路赞不绝口。从此，当代同伦延拓法进入了打算数学的大舞台。
“凭着一股牛劲”
如前所述，李天岩教授学术生涯中三项最著名的精彩事情，都完成于他的博士生阶段。个中第三篇关于“乌拉姆猜想”的论文由他独立完成，1976年揭橥于美国《逼近论杂志》（Journal of Approximation Theory）。这篇文章是如何出身的呢？1973年，约克与其互助者、波兰科学院院士洛速达（Andrzej Lasota，1932-2006）在期刊《美国数学会汇刊》（Transactions of the American Mathematical Society）上揭橥了一篇现已成为遍历理论经典文献的论文，个中证明了一个关于绝对连续不变测度的存在性定理。它断言，定义在区间上的一类逐片拉长自映射，存在一个“不变密度函数”。密度函数是常在概率论里露面的数学工具，它是取值为非负数的函数，并且总体积分为1。登基于它的图像之下、区间之上的“曲边矩形”面积即是1。不变密度函数的存在性担保后，李天岩开始考虑若何把它打算出来。或言之，若何在数值上有效地逼近它。他提出了一个利用逐片常数函数的逼近法，并对洛速达和约克考虑的那类区间映射，证明了算法的收敛性。顾名思义，逐片常数函数在剖分定义域区间的那些子区间上分别取常数值。
但是李天岩却全然不知，美国氢弹之父、波兰裔精彩数学家乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909-1984），在他1960年出版的一本篇幅只有一百五十页的小书《数学问题集》（A Collection of Mathematical Problems）中，已经提出这个方法，用来打算不变密度函数。文章写好后，李天岩才听说这便是十几年前已有的乌拉姆方法。并且乌拉姆在书中预测，只要不变密度函数存在，算法就收敛。“乌拉姆猜想”催生了在物理及工程中有主要运用代价的“打算遍历理论”学科问世。李天岩文章与乌拉姆方法的“历史性巧合”，也导致文章题目改动，加上了“乌拉姆猜想的一个解答”。这篇打算遍历理论领域的里程碑之作终极是《弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的有限逼近——乌拉姆猜想的一个解答》。
多年后，李天岩教授对我回顾他这篇大作的出炉经由，十分感慨地说道：“如果我当时事先知道，这个算法的收敛性，连和冯·诺伊曼一个级别的数学家乌拉姆也未给出证明的话，可能不大敢啃这块骨头。”但是，年轻时的李天岩，是个“初生牛犊不怕虎”的猛士。按照自己的说法，他“凭着一股牛劲，凡事坚持到底，绝不轻易放弃。”他认为，大人物办理不了的问题，并不能解释小人物也办理不了，大人物思考问题的路子也不一定是办理问题的唯一路子。在学问的道路上，只要有独立的精神、自由的思想，只要比别人多花了一分钟思考，就能够将看似困难的问题搞个底细毕露。
1987年初夏前，我在通过两门外语（英文和中文都不算外语）考试后，一边连续修课，一边积极跟上一个崭新领域——线性方案内点算法。它与我在南大读硕士的最优化方向干系，起始于印度人卡玛卡（Narendra Karmarkar，1956-）于1984年揭橥的一篇首创性论文。这个领域当时在国际优化界已开始热浪滚滚，跟进的研究者如蚁附膻。许多人乃至预测卡玛卡在上世纪结束前将会得到诺贝尔经济学奖，就像最早提出线性方案有效打算方法的苏联数学家康托诺维奇（Leonid Kantorovich，1912-1986）当年那样。不过这个预测没有变成现实。李教授考虑到我的老本行是数学方案，建议我跟上内点算法快速发展的步伐。他的一些素有学术往来的朋友，如日本最优化理论著名学者小岛政和（Masakazo Kojima，1944-）教授，常寄来这方面的文章预印本。斯坦福大学运筹学博士叶荫宇等几个华人学者，也开始崭露锋芒。我力争多理解这些最新的研究成果，逐步靠近学术前沿，并完成了几篇关于线性相补问题内点算法的文章。个中与导师互助的第一篇，有幸在1991年揭橥于美国工业与运用数学会那年新办的《SIAM最优化杂志》（SIAM Journal on Optimization）创刊号上。我曾打算将这些内容整理成我的博士论文，但后来的结局却是始料未及的。
西海岸之旅
1989年3月，我三岁女儿随着她奶奶来到美国。这是我们父女首次相会，只管她在底特律机场见到我时用一口纯洁扬州话对我说：“我在照片上见过爸爸的”。那年六月早春学季刚完，本学年告一段落，李教授开讲的三学季课程《[0, 1]上的遍历理论》也圆满落下帷幕。虽然那时他的紧张兴趣已不在混沌和遍历理论，而是在矩阵特色值及多元多项式方程组同伦求解，但是我们这些弟子增长了见识、开阔了眼界，对他直到八十年代中期的研究成果，有了比较清晰的理解。确实，如果对导师过去的事情都一无所知，那还成什么学生？要想成为好学生，不只要理解导师目前的事情，也须要知悉导师过去干了些什么，否则可被称为一个跛足的弟子。这和若何对待科学史道理相同。伟大的全能数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）告诫过我们：“如果我们想要预见数学的将来，适当的路子是研究这门科学的历史和现状。”这句话被数学史名著《古今数学思想》的作者克莱因（Morris Kline，1908-1992）放在了媒介的最前面。理解历史和认识现状同样主要，由于历史是一壁镜子。德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1962-1943）最精良的弟子外尔（Hermann Weyl，1885-1955），曾经提到自己“喜好讲授数学史”，说得非常有道理。
趁我去北加州开会之机，我们百口操持在六月份游览一次美洲大陆西海岸，这是我来美后第一回长途旅游。
从密歇根州到旧金山市的那个月，我们百口在沿途不少地方留下了足迹。我和许多南大老同学、老熟人再次相聚。在旅途的第一站伊利诺伊大学厄巴纳-喷鼻香槟分校，我与大学同窗胡著信不期而遇，整晚谈天；还和与我同机赴美读博士的南大化学系七八级学生李巧英相逢。然后我家老小去了堪萨斯城，得到了韩国师兄李弘九一家的激情亲切招待，李弘九在密苏里大学堪萨斯分校任教。抵达摩门教大本营盐湖城后，在犹他大学读博士的尹光炎同学开车带我们一睹盐湖风光。如今他和我昔日同窗中的另两名“江苏高考状元”，已开始饱览“夕阳无限好”的退休景致。
到了旧金山湾区，我见到了已在斯坦福大学统计系得到博士学位的张砚凝同学。出生于北京、大学成绩精良并且热爱长跑的他，当年考上中国科学院打算中央研究生并留洋深造。我来美读书后收到的第一封在美老同学来信，便是他激情亲切洋溢的“欢迎明信片”，他也在第二封信中对我给新生女儿取名“易之”大加讴歌：“不愧了你的文学功底”。后来，奇迹有成的张砚凝，长跑激情亲切没有降温，参加过好几次马拉松，包括著名的波士顿国际马拉松比赛。
我也与南大七八级的数学才子戴建岗再次相会。他正在斯坦福大学数学系撰写博士论文（他现任康奈尔大学运筹学与信息工程学院讲座教授，同时任职喷鼻香港中文大学（深圳）数据科学学院院长）。之前的三月初，他专门去了旧金山国际机场替我接机，将我母亲和女儿送到飞往底特律的登机口。我们在俏丽的斯坦福校园溜达，游览这所天下名校。家母在校园中心的著名大教堂前留了影。这是斯坦福夫人为纪念1885年与她共同创建学校的铁路大王丈夫而建立的。四分之一世纪后的2013年戴德节前，我去看望已在那里事情的女儿。在万里无云的蓝天下，我们两人在这座俏丽教堂前留下合照，让八十五岁高龄的家母再次目睹壮不雅观的斯坦福建筑。
书稿中的闪光
在旅途动身前，李天岩教授问我是否有兴趣，根据他刚结束课程的现成讲稿，帮他补完成一本中文书初稿。台湾某个学术基金会希望他出版此书。去年他在日本碰到美国普渡大学数学系莫宗坚（1940-）教授，二人商榷了此事，这也是他开这门课的初衷之一。李教授承诺从国家科学基金会奖给他的夏季研究帮助中，拨出一份给我，这样我就可以集中精力写书，而不必分心于教书事情。我当然乐意啦，这不只是巩固已学知识的极好机会，更给我未来学术写作供应了一个练兵场所。
回到密歇根后，我很快进入状态，开始起草导师交代的书稿。该书的基本框架已具雏形，只需添加作为预备知识的根本部分，并统一书面表达和措辞符号。我马一直蹄地伏案事情了两个月。这也是我重新梳理知识、磨炼学术写作的过程，给我日后自己写书供应了极好的练笔机会。更主要的是，在撰写关于绝对连续不变测度打算的乌拉姆方法那一章的某个瞬间，我无意中灵光一闪，为一项新研究创造了契机。
李教授操持出版的这本中文著作，紧张讲的是在遍历理论中有广泛运用的一类正算子——弗罗贝尼乌斯-佩隆算子，它是把非负函数映成非负函数的线性算子，并保持积分不变，前一个性子便是“正算子”的定义。算子的名称借用了两个德国数学家名字，实际上与他们风马牛不干系。只是由于这个无穷维算子继续了非负矩阵的多少好性子，并由于先是1907年的佩隆（Oskar Perron，1880-1975）、然后是1912年的弗罗贝尼乌斯，建立了非负矩阵的一样平常理论，以至于乌拉姆在《数学问题集》中把他们的名字借了过来，给该算子命名。这种“张冠李戴”的征象，在数学史中并不鲜见，比如解非线性方程组的牛顿法并非由牛顿正式提出，他只是用它逼近了一个多项式方程的根。牛顿法收敛性理论的系统研究，归功于二十世纪俄罗斯数学家康拓诺维奇。微积分中求不定型极限的洛必达法则，更是个“欺世盗名”的结果。被洛必达（Guillaume de l'Hôpital，1661-1704）放在他1696年书中的这个法则，实际上由瑞士数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）创造。不变密度函数是弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的不动点。李教授书稿的前面几章，讲的都是算子不动点的存在性定理和性子，末了一章才涉及它们的打算，标题为“弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的有限逼近”，内容为乌拉姆方法以及李天岩关于乌拉姆猜想、对付洛速达-约克区间映射族收敛性的俊秀证明。
当我快要写完这章，全体书稿就要大功告成之时，脑袋里溘然冒出一个疑问。从打算数学角度看，用逐片常数函数逼近一样平常函数是最大略粗糙的做法。为什么不能采取逐片线性乃至逐片二次函数来逼近呢？知识见告我们，如用水平线来近似悬链线，精度远低于用连接曲线上两点的线段逼近它。于是我好奇心大盛，立时拿起纸笔，画图演算起来。三十多年来，我一贯致力于打算遍历理论的研究，而这趟千里之行，就从此处开始。它与我之前的内点算法研究绝不相关，分属相距十万八千里的两个天地。由于我既在美国节制了纯数学分支遍历理论的基本知识，又早有南大老本行打算数学专业打下的良好根本，我的思路比较清晰，进展也相称顺利。我把稳到乌拉姆方法既是保正性、保积分的一种保构造算法，又属于传统的投影算法范畴。于是我就沿着这两个方向来推广它。很快，我就布局出两类基于逐片线性或逐片二次多项式的新算法。第一类依赖于迦辽金投影事理，另一类因利用了有限维的马尔科夫算子而保构造，我将之命名为马尔科夫有限逼近法。以俄罗斯数学家名字冠名的马尔科夫算子，比弗罗贝尼乌斯-佩隆算子范围更广，它定义为保持非负函数积分不变的正算子。对付乌拉姆方法能收敛的洛速达-约克类区间映射，我证明了新算法的收敛性。为证明高阶数值方法收敛更快，我用系里的太阳-事情站电脑（指打算机公司Sun Microsystems推出的事情站——编者注），输入自己体例的Fortran程序，进行打算比较。数值试验结果显示它们比乌拉姆方法收敛快得多，差距之大就像吕布的赤兔马同吕布本人赛跑。后来，两位华人教授从理论上研究了逐片线性马尔科夫有限逼近法的收敛速率，加上我和李教授于1998年揭橥的后续文章，终极建立了此类算法的收敛速率理论和偏差估计。
1989年八月尾，我完成了李天岩教授中文专著的初稿。作为副产品，也拿出两篇研究文章。连我也感惊奇的是，这本书我连草稿都没打，每章每节基本上是根据李教授课程讲义的概述，先在腹中酝酿一番，然后一气呵成地写下，这大大节省了写作韶光。在两个月内，我不仅起草了一本中文书，还做了一些故意义的研究。当我把书稿交给导师，并献上了论文初稿时，他先是惊异，看完后以为满意。从此，我再也没有干涉干与那本书稿的命运。遗憾的是，李天岩教授一贯忙于多项式方程组数值解方面的宏伟研究操持，基本上已离开混沌动力系统和遍历理论这个从前让他扬名天下的领域，因而从未有暇修正完成这本著作，殊为可惜。而我则相反，从导师课程中学习遍历理论培养出的兴趣，加上这段写作、研究的独特经历，让我离开了内点算法，投身于打算遍历理论，多年来乐此不倦，并与中国科学院打算数学与科学工程打算研究所的周爱辉博士互助，在2006年通过清华大学出版社出版了研究生中文教材《确定性系统的统计性子》。它对应的英文版则在2008年底由该出版社和德国的施普林格出版社联合出版。
毕业和事情
大概在1989年十月的某天上午，李天岩教授来到我的传授教化助理办公室，亲切地对我说：“你可以考虑明年毕业，就把最新的这两篇文章整理成你的博士论文吧。”我心存感激，赞许他的安排。我们这一批直接从大陆招来的博士生，除我是1986年一月来美，别的的几个都是海内名校七七级（“77级”是规复高考后的首届大学生——编者注）的，分别毕业于吉林大学、武汉大学、厦门大学等，加上一个从美国私扬名校西北大学投奔他来，由访问学者身份摇身一变的博士研究生，都是1986年八月进校的。很自然我可以比他们早点毕业。上一年，我来自北师大七七级的师姐已经博士毕业，找到了大学教职，就在李教授布劳威尔不动点打算论文开始名扬天下的所在地——克莱姆森大学数学系担当助理教授。那时，美国的经济还比较强劲，大学教书的新位置也不少。
找事情的难易度，和经济形势乃至社会环境的好坏线性干系。1957年，苏联的卫星上了天，把美国吓了一大跳，以为自己的科技水平落到对方背面去了。高层领导一声号令，美国的大学立时开始膨胀，导致六十年代的新科博士俏得很，个个都能谋到一份大学教书的好差事。结果是，他们当中的一部分，由于先天不敷或后天懈怠，在竞争激烈的学术环境中败下阵来，报酬每况愈下，尤其在研究型大学。密歇根州立大学的教授中也有这样的人，在老教授中的比例不算太低。我记得有一次，导师远远指着一逻辑学术地位不太高的教授的办公室，对弟子开玩笑说：当我还在高中读书的时候，他便是教授了，但他现在的薪水差不多只是我的一半。当李教授1974年拿到博士学位时，美国博士的好日子已经由去，很多人找不到饭碗。他能幸运地谋到一份大学教职，而许多像他这样的中国台湾博士只好打道回府。不过后来不少人由于台湾经济腾飞而赚了大钱。他又见告过我们，他的第一个博士研究生、来自台湾的朱天照，1982年拿到学位时，情形又一次倒转，校园口试机会多得应接不暇。终极朱博士选择了北卡罗来纳州立大学。他的研究表现十分出色，六年后就破格荣升到正教授了。
然而没想到的是，我1990年毕业，正巧遇上美国大学教职行情最严厉的新一轮周期！
好在我找到了正式助理教授位置，但那是后话了。
写于2024年3月24日星期日
美国哈蒂斯堡夏日山庄
注：本文根据2016年由商务印书馆出版的《亲历美国教诲：三十年的体验与思考》第六章《博士论文》修正而成。
致谢：感谢朱慧坚博士提出两处修正见地，增加了阐述的准确性。
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