例16、如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.贯串衔接PC,交⊙O于点E;贯串衔接AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.(2006年初中数学联赛)

思路剖析:剖析法,

欲证PE·AC=CE·KB,即证PE/KB=CE/AC,

由平行得PE/KP=CE/AC,

切割线定理变形及其应用之五

从而只需证明KP=KB,而由切割线定理知这是显然的,从而得证。

证明:由切线及平行得

∠PAK=∠ACP=∠KPE,

从而△PEK∼△APK,

则PK^2=KEKA,

又由切割线定理得

BK^2=KEKA,从而PK=BK,

由平行得到

即得PE·AC=CE·KB 。

注:本题很大略,此构型前面也多次见到和用到,希望初学者闇练节制。

例17、已知,如图,EF、CD为两圆外公切线,EF交CD于O,两圆交于A、B。

求证:OA为△ACD外接圆切线;

思路剖析:欲证OA为△ACD外接圆切线,

即证∠OAC=∠ODA。

条件中O为两外公切线的交点不太好用,

想到O为两圆外位似中央,

从而延长OA交大圆于I,则

AI为相似对应点,

从而∠OAC=∠OID=∠ODA。

证明:延长OA交大圆于I,

显然O为两圆外位似中央,

C、D,A、I为对应点,则

∠CAO=∠DIO=∠ODA,

即得OA为△ACD外接圆切线;

注:本题也比较大略,但是很经典也和主要,从位似角度看是显然的。
当然本题也可以不用位似直接证明。

例18 、已知:如上图,圆O、O’交于P、Q,PA、PB为圆O、O’切线,A、B分别在圆O、O’上,PQ交△ABC外接圆于R。

求证:PQ=QR(2016年高中数学联赛陕西省初赛试题)

思路剖析:作出△PAB圆心T通情达理,

相交两圆必连公共弦和连心线,

欲证PQ=QR,即证TQ⊥PQ,

即证TQ//OO'。

由切线可得OPO'T为平行四边形,

则OO'为中位线,从而得证。

证明:设△PAB外接圆圆心为T,

则TO⊥PA。

又由切线得O'P⊥PA,

则OT//O'P.

同理O'T//OP,

故OPO'T为平行四边形,

则N为PT中点,

又M为PQ中点,

则MN//TQ,

故TQ⊥PQ,

则PQ=QR。

注:本题也不难,证明方法大概多,不过上述证法基本上是最简洁的了。

例19、如图,若AP、AQ为圆O的切线,,过A的圆的割线ACD交PQ于B点。

求证:BD/BC=AD/AC;

证明:如上图,由切割线定理则

AP/AD=PC/DP, AC/AQ=QC/QD,从而得到

即结果成立。

注:前面我们多次提到,一样平常的,称知足上述表达式的A,B;C,D为调和点列,其表达式有很多变式。
称PDQC为调和四边形,读者可以参阅[5]。
当然本题证明方法很多,上述方法是用打算得到的,也可以作出CD中点,由相似得到,感兴趣的读者可以自行磋商。
当然如果从极点极线的角度看,本问题相称于证明过点A的圆O的动弦上知足A,B;C,D为调和点列的点B的轨迹在A的极线上,这是极线的一种定义。
当然本结论对所有的圆锥曲线均成立。

例20 、如上图,过圆O外一点P做割线PAB、PCD,AD与BC、AC与BD分别交于E、F,P对圆O的切线为PS、PT,个中S、T为切点。

求证:E,F,S,T共线(2002年CMO试题等价表述)

思路剖析:由对称性,只需证明E在ST上即可。
相称于证明AD,BC,ST三线共点,自然的思路是消点法,在△ABT中,由角元塞瓦定理,只需证明六个角的正弦值之间的等式。
由正弦定理转化为证明六个线段相间线段乘积相等,这个不难类似上题证明。

注:1)本结论也是极线的另一种定义,即过P的两条割线PAB、PCD,ABCD对角线交点的连线即为P对圆O的极线。
当然对付所有的圆锥曲线都成立。
须要特殊解释的是,如果此结论不用几何方法,要用解析法直接打算,则打算量蔚为大不雅观,险些很难完成。
不相信的读者可以寻衅一下 ^_^。

2)上述证明用塞瓦定理打算证明,与上题证明一模一样。
当然上述证明中得到的结论:圆内接六边形对角线交于一点的充要条件为相间线段乘积相等。
是塞瓦定理的一个推论,是证明圆内接六边形对角线交于一点的主要方法。

3)我们在文[1]中提到过不用直尺、只用圆规作图问题。
类似的还有一个问题是只用直尺、不用圆规作图问题,一个最经典的问题是已知线段AB//CD,作AB中点。
实在便是利用文[1]中的Steiner定理,直接连线即可,如下图。

另一个比较困难的直尺作图问题是:只用直尺过圆外一点P作圆的切线(不给出圆心,实在纵然给出圆心也没有用)

做法实在便是本题证明的结论,过P任意作割线PAB、PCD,AD交CB、AC交BD于E、F,

EF交圆于S、T,则PS、PT即为圆的切线,证明如上。
而且此方法可以适用于所有的二次曲线。
对作图感兴趣的读者可以参考文献[10]。

前面通过5篇文章、20个例题,展示了切割线定理及其推论在许多几何问题中的运用,我们创造这个结论和构型虽然很大略,但是至关主要,是办理很多难题的打破口和关键点;这也见告了我们一个朴素的道理:最大略的每每是最主要的,关键是要合理及奥妙的利用它!
希望读者在往后的学习生活中逐步体会个中的真意!
另一方面对经典的大略结论要多积累,这样才能在得当的时候用上。
正如《老子》中所说的:九尺之台,起于累土;合抱之木,生于毫末;千里之行,始于足下。