例16、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．贯串衔接PC，交⊙O于点E；贯串衔接AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．（2006年初中数学联赛）
思路剖析：剖析法，
欲证PE·AC=CE·KB，即证PE/KB=CE/AC,
由平行得PE/KP=CE/AC,
从而只需证明KP=KB,而由切割线定理知这是显然的，从而得证。
证明：由切线及平行得
∠PAK=∠ACP=∠KPE,
从而△PEK∼△APK,
则PK^2=KEKA,
又由切割线定理得
BK^2=KEKA,从而PK=BK,
由平行得到
即得PE·AC=CE·KB 。
注：本题很大略，此构型前面也多次见到和用到，希望初学者闇练节制。
例17、已知，如图，EF、CD为两圆外公切线，EF交CD于O，两圆交于A、B。
求证：OA为△ACD外接圆切线；
思路剖析：欲证OA为△ACD外接圆切线，
即证∠OAC=∠ODA。
条件中O为两外公切线的交点不太好用，
想到O为两圆外位似中央，
从而延长OA交大圆于I，则
AI为相似对应点，
从而∠OAC=∠OID=∠ODA。
证明：延长OA交大圆于I，
显然O为两圆外位似中央，
C、D，A、I为对应点，则
∠CAO=∠DIO=∠ODA,
即得OA为△ACD外接圆切线;
注：本题也比较大略，但是很经典也和主要，从位似角度看是显然的。当然本题也可以不用位似直接证明。
例18 、已知：如上图，圆O、O’交于P、Q，PA、PB为圆O、O’切线，A、B分别在圆O、O’上，PQ交△ABC外接圆于R。
求证：PQ=QR（2016年高中数学联赛陕西省初赛试题）
思路剖析：作出△PAB圆心T通情达理，
相交两圆必连公共弦和连心线，
欲证PQ=QR，即证TQ⊥PQ，
即证TQ//OO'。
由切线可得OPO'T为平行四边形，
则OO'为中位线，从而得证。
证明：设△PAB外接圆圆心为T，
则TO⊥PA。
又由切线得O'P⊥PA,
则OT//O'P.
同理O'T//OP,
故OPO'T为平行四边形，
则N为PT中点，
又M为PQ中点，
则MN//TQ,
故TQ⊥PQ，
则PQ=QR。
注：本题也不难，证明方法大概多，不过上述证法基本上是最简洁的了。
例19、如图，若AP、AQ为圆O的切线，，过A的圆的割线ACD交PQ于B点。
求证：BD/BC=AD/AC;
证明：如上图，由切割线定理则
AP/AD=PC/DP, AC/AQ=QC/QD,从而得到
即结果成立。
注：前面我们多次提到，一样平常的，称知足上述表达式的A,B;C,D为调和点列，其表达式有很多变式。称PDQC为调和四边形，读者可以参阅[5]。当然本题证明方法很多，上述方法是用打算得到的，也可以作出CD中点，由相似得到，感兴趣的读者可以自行磋商。当然如果从极点极线的角度看，本问题相称于证明过点A的圆O的动弦上知足A,B;C,D为调和点列的点B的轨迹在A的极线上，这是极线的一种定义。当然本结论对所有的圆锥曲线均成立。
例20 、如上图，过圆O外一点P做割线PAB、PCD，AD与BC、AC与BD分别交于E、F，P对圆O的切线为PS、PT，个中S、T为切点。
求证：E，F，S，T共线（2002年CMO试题等价表述）
思路剖析：由对称性，只需证明E在ST上即可。相称于证明AD,BC,ST三线共点，自然的思路是消点法，在△ABT中，由角元塞瓦定理，只需证明六个角的正弦值之间的等式。由正弦定理转化为证明六个线段相间线段乘积相等，这个不难类似上题证明。
注：1）本结论也是极线的另一种定义，即过P的两条割线PAB、PCD，ABCD对角线交点的连线即为P对圆O的极线。当然对付所有的圆锥曲线都成立。须要特殊解释的是，如果此结论不用几何方法，要用解析法直接打算，则打算量蔚为大不雅观，险些很难完成。不相信的读者可以寻衅一下 ^_^。
2）上述证明用塞瓦定理打算证明，与上题证明一模一样。当然上述证明中得到的结论：圆内接六边形对角线交于一点的充要条件为相间线段乘积相等。是塞瓦定理的一个推论，是证明圆内接六边形对角线交于一点的主要方法。
3)我们在文[1]中提到过不用直尺、只用圆规作图问题。类似的还有一个问题是只用直尺、不用圆规作图问题，一个最经典的问题是已知线段AB//CD，作AB中点。实在便是利用文[1]中的Steiner定理，直接连线即可，如下图。
另一个比较困难的直尺作图问题是：只用直尺过圆外一点P作圆的切线（不给出圆心，实在纵然给出圆心也没有用）
做法实在便是本题证明的结论，过P任意作割线PAB、PCD，AD交CB、AC交BD于E、F，
EF交圆于S、T，则PS、PT即为圆的切线，证明如上。而且此方法可以适用于所有的二次曲线。对作图感兴趣的读者可以参考文献[10]。
前面通过5篇文章、20个例题，展示了切割线定理及其推论在许多几何问题中的运用，我们创造这个结论和构型虽然很大略，但是至关主要，是办理很多难题的打破口和关键点；这也见告了我们一个朴素的道理：最大略的每每是最主要的，关键是要合理及奥妙的利用它！
希望读者在往后的学习生活中逐步体会个中的真意！
另一方面对经典的大略结论要多积累，这样才能在得当的时候用上。正如《老子》中所说的：九尺之台，起于累土；合抱之木，生于毫末；千里之行，始于足下。