高等数学是自然科学和工程技术领域的基础学科，极限理论是其核心内容之一。极限在数学分析中具有极其重要的地位，它是微积分、线性代数、概率论等学科的理论基础。本文将从极限的概念、性质、运算法则和求解方法等方面，对高等数学中的极限求解进行深入剖析。
一、极限的概念与性质
1. 极限的定义
极限是描述函数在某一点附近取值的变化趋势的一种数学工具。设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，使得当x趋向于a时，f(x)的值与A的差可以任意小，则称A是函数f(x)当x趋向于a时的极限。
2. 极限的性质
（1）保号性：如果函数在某点附近保持同号，那么它的极限也保持同号。
（2）夹逼定理：如果三个函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且当x趋向于a时，f(x)和h(x)的极限存在且相等，则g(x)的极限也存在，且等于这个共同的极限。
（3）无穷小乘以无穷大等于无穷小：如果当x趋向于a时，f(x)是无穷小，g(x)是无穷大，那么f(x)g(x)也是无穷小。
二、极限的运算法则
1. 加法法则：如果lim[f(x)+g(x)]和lim[g(x)]都存在，那么lim[f(x)]也存在，且等于lim[f(x)+g(x)]。
2. 减法法则：如果lim[f(x)-g(x)]和lim[g(x)]都存在，那么lim[f(x)]也存在，且等于lim[f(x)-g(x)]。
3. 乘法法则：如果lim[f(x)]和lim[g(x)]都存在，那么lim[f(x)g(x)]也存在，且等于lim[f(x)]乘以lim[g(x)]。
4. 除法法则：如果lim[f(x)]和lim[g(x)]都存在，且lim[g(x)]不等于0，那么lim[f(x)/g(x)]也存在，且等于lim[f(x)]除以lim[g(x)]。
三、极限的求解方法
1. 极限四则运算法则：利用极限的四则运算法则，将极限问题转化为已知极限的形式，从而求解。
2. 换元法：通过适当的换元，将复杂极限转化为简单极限，从而求解。
3. 有界性原理：利用有界性原理，判断函数在某点附近的有界性，从而求解极限。
4. 极限审敛法：通过判断极限是否存在，确定函数在某点附近的变化趋势。
本文对高等数学中的极限求解进行了深入剖析，阐述了极限的概念、性质、运算法则和求解方法。通过对极限理论的掌握，有助于读者在后续学习中更好地理解和运用微积分、线性代数、概率论等学科知识。极限理论博大精深，本文所述内容仅为冰山一角。希望读者能够在此基础上，继续深入学习，提升自己的数学素养。