上一节谈到了人类的履历知识是分层次的。总结一下苹果落地的两个层次。第一类层次，由于我们看到了苹果总是往着落地，没有往上飞过，以是我们认为苹果是落地的；第二类层次，我们建立牛顿古典力学模型，由于物体受力要朝受力方向加速提高，以是苹果分开树枝往后，受到地心引力要朝地表方向提高。在这一个层面，古典力学的很多模型的选择（例如，万有引力间隔平方成反比；再例如不同参考系韶光流逝是一样的。）实在也是履历的。人类把知识一层层往上逻辑化到认知边界，依赖几个感性的假设，建立了一个认知体系。
很多伟人倒过来看：能否依赖于几个基本的公理假设（感性选择）来建立整套认知体系？从欧几里得到希尔伯特，哲学、数学和物理学科的学霸们分别对几何知识和代数知识进行逻辑化。而这个过程中，人类开始构想，能否让机器？这直接导致了以图灵机为代表的机器智能的产生。
图灵在他的经典论文《论可打算数》中布局了一个机器（后人称为图灵机），来模拟人类数学事情者。物理打算机的发明在后面的章节上会谈论，但学术界普遍认为物理打算机的发明是受到图灵机的启示。冯·诺依曼等人在发明物理打算机后，给原来清贫的数学事情职员创造了高薪的编程岗位。前面在AI小节中谈到，本日的AI技能建立在打算机之上。理论上讲，AI学科只是图灵机系统的一个模型化算办法集。在这个子集里面谈论AI智能和人的关系一定是不完全的。以是在谈论AI和人的关系上，我们须要再往上追溯到公理化数学的过程。正是这个过程，邱奇、图灵和哥德尔等人对付机器和人的磋商远远深过本日大众传媒对这个话题的谈论。
第一个建立公理化的逻辑系统是欧几里得的《几何原来》。如果追溯到数学的源头，欧几里得可能是个不得不提的人。他的著作《几何原来》对付人类影响非常深刻，听说《几何原来》在西方的发行量仅次于《圣经》。欧几里得的全体几何体系建立在5条公理之上。为了避免读者再去翻初中几何教材，5条公理如下：
个中第五条公理可以用另一种办法表述为：在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一贯线跟此直线平行。
欧几里得平面几何（欧氏几何）的所有定理可以终极追溯到这五个公理，以是这五个公理构成了欧氏几何的边界。作者初二的时候理解边界也有点困难，到后来也就放弃追问欧几里得为何如此定义此五公理。后来我才知道，很多学霸都不喜好欧几里得看上去像“主不雅观臆断”定义的第五公理。
个中有个俄罗斯人叫罗巴切夫斯基（后面简称罗氏，虽然他不姓罗），他认为第五公理该当可以通过前面四个公理推导出来。为了推导这个公理，罗氏利用了反证法。在反证法中的第一步，他假设 “过直线外一点有两条平行线”，然后试图通过这个反证假设来结合前面4条公理推导出逻辑抵牾。如果推导出抵牾，那么假设缺点。但是，罗氏基于他的假设并没有推导出任何抵牾，反而推导出一个和欧氏几何完备平行的几何体系——罗氏几何体系，也便是双曲几何。为帮主读者视觉化罗氏双曲几何，图一为一三角形于一双曲抛物面上，其余右下方有两条在欧氏几何中应平行的分流线。
图一：罗氏几何中的三角形和平行线（来源：zh.wikipedia.org/wiki/双曲凑集）
罗氏几何体系完备不同于欧式几何，首创了非欧几何的先河。一方面，这意味着欧几里得并不是随意选择了他的第五公理，他必须要选择第五公理才能建立起来他的欧氏几何。另一方面，这也意味着罗氏可能惹上了和哥白尼一样的大麻烦。哥白尼说地球不是宇宙中央，由于违反宗教教义被活活烧去世。罗氏理论标志着两个几何天下的涌现：一个是欧氏几何描述的方方正正的天下，其余一个是罗氏几何描述的弯弯曲曲的天下。由于颠覆了当时大众广为认知的体系，罗氏的理论因此受到很多非议，他个人也遭受了很多不公道报酬。
这时，罗氏向其余一位学霸、有数学王子之称的高斯乞助，希望高斯能够公开支持他的理论。高斯虽然供应了很多力所能及的帮助，但是终极没有公开站出来支持多个几何体系的存在。只管高斯自己也觉得到第五公理的选择不是唯一的，但是他深知愚蠢势力对付新事物的恐怖。（这里插一句，如果读者像哥白尼、罗氏、麦克斯韦等人一样聪明，在认知边界上打破，记得把你的理论在抽屉里放一段韶光。当然如果害怕自己的理论被别人先揭橥，记得在揭橥不雅观点的时候要承担被吃瓜群众拍砖的风险。实在某种程度上群众本日对付AI的恐怖也只是历史重现。）
罗氏的晚年在不幸中度过，他的理论一贯没有公开得到支持。直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米揭橥了一篇著名论文《非欧几何阐明的考试测验》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲， pseudosphere）上实现。也便是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有抵牾，非欧几何也就自然没有抵牾。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始得到学术界的普遍把稳和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和同等赞颂，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
自贝尔特拉米解除了宗教势力对付非欧几里得几何(非欧几何)的束缚往后，来自德国哥廷根大学的高斯和黎曼对非欧几何进行了大刀阔斧的拓展。黎曼对付欧式几何的第五公理做了其余一个相反的假定：过直线外一点，不能做直线和已知直线不相交。由此产生了非欧几何的另一个分支——椭圆几何。高斯有数学王子之称，黎曼该当是高斯的继续人。关于高斯和黎曼在非欧几何的打破性进展，可以参考陈省身1987年在台大的演讲《什么是几何学》。嘉兴籍数学家陈省身是公认的20世纪微分几何学家，曾在加州伯克利等名校任教授。我们这里不是为谈论几何而谈论几何著作。
总结来说，对欧几里得第五公理作不同假设，终极衍生出三种逻辑自恰的几何学：罗氏几何、欧式几何和黎曼几何。三种几何中,垂直于同一线段的两条直线如下图所示：左：罗氏几何（双曲几何)、 中：欧式几何、和 右：黎曼几何（椭圆几何）.
图二：三种几何中垂直于同一线段的两条直线的图象（来源维基百科）
读者读到这里可能焦急起来。打算机(人工智能)和几何有啥关系？由于非欧几何的公里化体系的谈论，引发了自然数算数体系公理化的类似谈论，从而导致了算法的图灵机的定义。这里须要首先引出哥廷根大学的其余一位学霸：希尔伯特。在高斯和黎曼之后，非欧几何在哥廷根大学盛行，影响了不少数学家。哥廷根大学迎来了希尔伯特，希尔伯特提出了公理化几何体系并出版了《几何根本》。 全体体系从一组公理出发，层层推导。
希尔伯特的公理化办法也表示数学办法开始转移到当代的公理系统。公理系统可以摆脱现实天下，就像非欧几何的不同第五公理可以创造出不同生活直觉的几何天下。如果说几何学是磋商几何元素的关系，那么如点、直线、平面等可以用桌子、椅子等物体所取代。更为主要的是在希尔伯特的观点里面，一个从公理化布局出来的完全的数学系统该当具有以下特性：
独立性：系统里面的各个公理相互独立，任何一个公理都不能从其他公理推导出来。例如欧几里得的第五公理并不能从其他四个公理推导出来。同等性：从公理出发，不能推导出两个相互抵牾的定理。假设B是A的反命题，我们不能从公理系统中同时推导出A和B成立完备性：从公理出发，可以推导出所有真命题。假设B和A是反命题，但是从公理系统不能证明A或者B，那么系统是不完备的。由于A和它的反命题都可能是对的，不完备的系统像知识天下存在黑洞一样，让人不安。可剖断性(Entscheidungsproblem)：给定一个数学命题，是否可以从公理出发，通过有限打算步骤，来剖断这个命题的可证明性。这个可以列举的打算步骤便是现在意义上的算法(Algorithm)。完备性和可剖断性可能有点让人稠浊。如果一个别系是不完备的，那么存在命题不可被证明。可判断性说的是否能找到一个步骤，打算出一个命题能否被证明。
希尔伯特的伟大之处便是在于把公理化系统的思考方法影响到代数体系。在1900年8月的国际数学家大会上，希尔伯特将可剖断性问题列为当时数学面临的23个问题中的第10个问题。他的第10个问题向数学家同寅寻衅：“是否可以推导出一个过程（算法），通过有限步骤剖断不定方程（也叫丢番图方程）是否存在有整数解的命题？”
希尔伯特的座右铭是：“我们必须知道；我们必将知道。”在他眼里，不定方程无论是否有解，都该当存在一个剖断过程，剖断它是否可以被证明。例如费马方程，作为一种特定形式的不定方程，在数学家们试图证明命题“费马方程在自然数 n > 2 的情形下不存在整数解”之前，希望有个剖断过程（算法）来剖断它是否可以被证明。
费马方程
事实上费马定理的证明花费了数学家300年的努力，幸运的是它是可证明的。至此，大家长嘘一口气，不然300年努力就白花了。从费马定理证明史这个例子上可以看到，代数命题通用剖断过程（算法）的意义重大。要谈论通用的可剖断性，首先须要清晰地定义什么是算法。为此，邱奇和图灵分别提出了不同布局和定义。图灵布局了图灵机，然后算法就定义在图灵机的操作之上。下一节将谈论图灵如何布局图灵机，但是很遗憾图灵也证明了基于自然数算术的公理化体系的通用判断过程并不存在。